If the Chazan said Ha’e-l HaKodsh (and didn’t correct himself toch kedei dibur), does he have to restart Chazoras HaShatz?
Yes. כמפורש ברמב״ם תפלה י, יג שחוזר לראש אחד יחיד ואחד ציבור. וכ״כ ברא״ש ברכות א, טז, ובשו״ת הרשב״א א, לה. וכן הביא בלקט יושר ע׳ כא, שהורה…