Is one allowed to take a haircut the night before Shiva Asar B’Tamuz?

No, as the laws of the three weeks apply on the night before the fast.

Source:

ראה מש”כ באשל-אברהם להרה”צ מבוטשאטש או”ח סי’ תקנ”א, שו”ת ציץ-אליעזר ח”י סי’ כ”ו, ומאידך ראה מש”כ בשו”ת אגרות-משה או”ח ח”א סי’ קס”ח וח”ד סי’ קי”ב היכא שיש צורך. והעיקר כנ״ל.