Is it true that one is not allowed to let a baby look into a mirror until they have teeth?
There is no known Torah source for this. Nonetheless, it is known that many Jewish communities and Gedolei Yisrael were particular. It should be noted that as a general rule we are told not to mock family traditions even when they appear to be grandmother tales.
Also, Halacha generally frowns upon using mirrors unnecessarily, and Kaballah in particular has issues with it.
See more here.
Sources:
ידועים דברי הרשב״א, שהובא בשו״ת השיב משה או״ח יג, שאין לדחות הקבלה שיש ביד נשים הזקנות מבני עמנו מפני ששים ריבוא מופתים המראים סותרו, דחק הישראלי הוא למעלה מהטבע והשכל. ועד״ז הובא בשמו בשו״ת ארי׳ דבי עילאי יו״ד ס״ט. ומובא גם בכו״כ שיחות קודש. וראה גם שו״ת מנח״י (ח״ו סי׳ קלה. ח”ט ס”ח. ח״י סמ״ב) שהביא ד״ז לענין כמה מנהגים כיו״ב. וכעי״ז נמצא גם בשו״ת חות יאיר סוסי׳ רלד.
וכבר העירו בכ״מ משו״ת הרשב״א ח״א ס״ט: בכל דבר שיש קבלה ביד הזקנים והזקנות מעמנו, ולא נסתיר קבלתם רק אחר הקיום שאינו באפשר חלילה ולמה נסתור קבלתם ואין קבלה פושטת ביד עמנו רק שקבלו אותה דור אחר דור עד משה רבינו ע”ה או עד הנביאים.
וראה כאן במראי מקומות.
ובנדו״ד, אף שידועים שישנם אמונות טפלות להבדיל אצל אוה”ע בנושא זה, הרי הובא בכ״מ שנהגו במנהג זה מגדולי ישראל וחכמי׳ – ראה שו״ת באר משה ח, לו. חסדי משה קאפישניץ מנהגים מא. מלכות שלמה ע׳ רסא. וראה שאלת רב ע׳ עב. סגולות רבותינו ע׳ 374. ויכתוב מרדכי ע רלו ובשוה״ג.
ובעצם הסכנה במראה בהסתכלות בה – ילה״ע מרמב״ן (ויצא לא, לה. שם אחרי יח, יט) לענין נדה. וכ״כ ( וירא יט, יד. חוקת כא, ט) גם בנוגע להסתכלות נשוכי חיות. וראה חנוכת הבית לבעל טל אורות בהוצאת נחלת צבי ע׳ קטז.
וכמובן, זהו בנוסף להסכנה בהסתכלות במראה בכלל ע״פ הזהר, ושהביאו המקובלים.
והנה נוסף ל טעם הפשוט מחמת ההתרגשות אצל התינוק בהסתכלו במראה עצמו, עוד איכא בגווה, שיתכן הטעם, כי בעצם יש דררא דאיסורא להסתכל במראה והתירו מטעמים שונים לרפואה או כיו״ב, ראה בלינק שבסמוך. אבל בתינוק ל״ש כ״ז. ואף שחיובא לדרדקי בתמי׳, וכש״כ כשאינו בר הבנה – עכ״פ, חשו מחמת הרו״ר שהביאו בספרי קבלה, משא״כ בהסתכלות לצורך.