Is it okay to wear a scarf in the Reshus Harabim?

It is fine.

בימינו ה״ז דרך מלבוש רגיל. ועיין בשו״ת אג״מ או״ח א, קט שכל שלובש בדרך מלבוש מהני גם כשאין לו שום תועלת מזה.

ואכן, בצעיף נהוג להתיר אף שאינו מכסה ראשו ורובו, ראה אדה״ז לז. וה״ז דרך מלבוש. ובחורף טעם נוסף להקל.